Архів новин    Новини Гребінки    Новини Полтавщини    Новини громади    Події    Суспільство    Освіта    Культура    Здоров'я    Спорт    Технології    Новини Полтавщини TV   



 
Навчання Хімія Англійська мова
Физика Математика


Арифметична прогресія. Формули та приклади


Арифметична прогресія. Формули та приклади

Арифметичною прогресією називають послідовність чисел (членів прогресії)

 в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталий доданок, який ще називають кроком або різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії

Обернене твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії рівне члену, який стоїть між ними то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також за властивістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

В цьому легко переконатися, якщо розписати доданки справа від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах.

2) Суму n перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою

Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях та досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена, то в нагоді Вам стане наступна формула суми

4) Практичний інтерес має відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал добігає кінця і переходимо до розв'язування поширених на практиці задач.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Куб числа

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4;7;...

Розв'язання:

Згідно умови маємо

Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо

 

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: ЛОГАРИФМ числа

Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом . Знайти перший член прогресії та суму десяти.

Розв'язання:

Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо в любе із рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Всі шукані величини знайдені.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Відсоток від числа

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником  та одним з її членів . Знайти перший член прогресії , суму 50 її членів починаючи з 50 та суму 100 перших.

Розв'язання:

Запишемо формулу сотого елемента прогресії

та знайдемо перший

На основі першого знаходимо 50 член прогресії

Знаходимо суму частини прогресії

та суму перших 100

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Квадрати чисел

Приклад 4.

Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Розв'язання:

Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх

Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі

Виконуємо спрощення

та розв'язуємо квадратне рівняння

    

    

Із знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8. Таким чином, сума перших восьми членів прогресії рівна 111.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Формули скороченого множення. Приклади

Приклад 5.

Розв'язати рівняння

1+3+5+...+х=307.

Розв'язання: Дане рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії

Знайдені величини підставимо в формулу суми прогресії для відшукання кількості доданків

Як і в попередньому завданні, виконуємо спрощення та розв'яжемо квадратне рівняння

Вибираємо більше із двох значень. Маємо, що сума 18 членів прогресії з заданими величинами а1=1,d=2 рівна Sn=307.

На цьому знайомство із арифметичними прогресіями завершується. В книжках ви знайдете багато подібних задач та нових, які не були розглянуті. Наведеного матеріалу повинно вистачити Вам з головою, щоб розібратися і роз'вязати задачі самостійно.



Схожі матеріали:

👁 6176
Категорія: Математика
Теги: Арифметична прогресія, математика



Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]



ЗАРАЗ ЧИТАЮТЬ


Як зрозуміти, що розсаді не вистачає фос...

/_pu/70/83834511.jpg

Скільки ходять гальмівні колодки і коли ...

/_pu/70/24013054.jpg

Що посадити поряд із капустою, щоб захис...

/_pu/70/15949106.jpg

Топ-3 продуктів для сну

/_pu/70/61734948.jpg

Як романтичні фільми руйнують наше уявле...

/_pu/69/91573937.jpg

Декілька попереджувальних сигналів, що с...

/_pu/70/42158299.jpg

Як роздягнутися перед чоловіком - прийом...

/_pu/70/85268573.jpg

Вибираємо ідеальний бюстгальтер з пороло...

/_pu/70/74153786.jpg

Как предотвратить повреждение зрительног...

/_pu/70/18888637.jpg

Як підвищити приживаність живців троянд ...

/_pu/70/30499224.jpg

Психологічні тригери алкогольної залежно...

/_pu/70/72241910.jpg

Коли надмірне хвилювання заважає чоловік...

/_pu/70/14881768.jpg