ЛОГАРИФМ числа
Логарифмом числа b за основою a позначають вираз .
Обчислити логарифм означає знайти такий степінь x ( ), при якому виконується рівність
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/22612159.gif)
Основні властивості логарифма
Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі розв’язуються практично всі завдання і приклади пов’язані з логарифмами.
ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Формули скороченого множення. Приклади
Решта екзотичних властивостей можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами
1. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/48338917.gif)
2. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/29845460.gif)
3. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/40274929.gif)
4. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/01706907.gif)
5. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/70588617.gif)
6. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/50942362.gif)
7. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/12007291.gif)
8. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/17739237.gif)
9. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/73379027.gif)
10. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/13052706.gif)
11. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/82514483.gif)
12. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/54523044.gif)
13. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/01055679.gif)
14. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/59849974.gif)
15. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/53999690.gif)
При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Решта дещо складні, але в ряді задач є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.
Поширені випадки логарифмів
Одними з розповсюджених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм за основою десять прийнято називати десятковим і спрощено позначати lg(x).
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/08680580.gif)
Із запису бачимо, що основи в записі не пишуть. Для прикладу
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/11818107.gif)
Логарифм натуральний – це логарифм у якого за основу експонента (позначають ln(x)).
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/78427449.gif)
Експонента рівна 2,718281828…. Щоб запам’ятати експоненту можете вивчити правило: експонента рівна 2, 7 і два рази рік народження Лева Миколайовича Толстого. Знаючи це правило будете знати і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.
І ще один важливий логарифм за основою два позначають
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/81569529.gif)
Похідна від логарифм функції рівна одиниці розділеній на змінну
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/98432946.gif)
Інтеграл або первісна логарифма визначається залежністю
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/71277816.gif)
Наведеного матеріалу Вам буде достатньо, щоб розв’язувати широкий клас задач пов’язаних з логарифмами і логарифмуванням. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів хзі шкільної програми та ВУЗів.
Приклади на логарифми
Прологарифмувати вирази
Приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).
За властивостями 3,5 обчислюємо
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/65965094.gif)
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/13486458.gif)
2. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/83395677.gif)
За властивістю різниці логарифмів маємо
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/07038073.gif)
3. ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/18402304.gif)
Використовуючи властивості 3, 5 знаходимо
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/53506143.gif)
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/20620218.gif)
4. де .
На вигляд складний вираз із використанням ряду правил спрощується до вигляду
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/21151480.gif)
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/10450635.gif)
Знаходження значень логарифмів
Приклад 2. Знайти х, якщо
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/77811031.gif)
Розв’язання. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 та 13 властивості
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/86915400.gif)
Підставляємо у запис та сумуємо
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/75546391.gif)
Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/89516399.gif)
------------------------------------------
Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/87093688.gif)
Обчислити log[a](x), якщо ![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/31395857.gif)
Розв’язання: Логарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/73728246.gif)
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/16454223.gif)
![](http://grebenka.at.ua/_pu/23/08245058.gif)
------------------------------------------
На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями тільки розпочинається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навики – отримані знання Вам скоро знадобляться для розв’язування логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи розв’язання таких рівнянь ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої теми – логарифмічні нерівності... |