Арифметична прогресія. Формули та приклади

Арифметичною прогресією називають послідовність чисел (членів прогресії)

 в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталий доданок, який ще називають кроком або різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії

Обернене твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії рівне члену, який стоїть між ними то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також за властивістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

В цьому легко переконатися, якщо розписати доданки справа від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах.

2) Суму n перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою

Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях та досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена, то в нагоді Вам стане наступна формула суми

4) Практичний інтерес має відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал добігає кінця і переходимо до розв'язування поширених на практиці задач.

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4;7;...

Розв'язання:

Згідно умови маємо

Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: ЛОГАРИФМ числа

Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом . Знайти перший член прогресії та суму десяти.

Розв'язання:

Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо в любе із рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Всі шукані величини знайдені.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Відсоток від числа

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником  та одним з її членів . Знайти перший член прогресії , суму 50 її членів починаючи з 50 та суму 100 перших.

Розв'язання:

Запишемо формулу сотого елемента прогресії

та знайдемо перший

На основі першого знаходимо 50 член прогресії

Знаходимо суму частини прогресії

та суму перших 100

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Квадрати чисел

Приклад 4.

Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Розв'язання:

Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх

Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі

Виконуємо спрощення

та розв'язуємо квадратне рівняння

Із знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8. Таким чином, сума перших восьми членів прогресії рівна 111.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Формули скороченого множення. Приклади

Приклад 5.

Розв'язати рівняння

1+3+5+...+х=307.

Розв'язання: Дане рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії

Знайдені величини підставимо в формулу суми прогресії для відшукання кількості доданків

Як і в попередньому завданні, виконуємо спрощення та розв'яжемо квадратне рівняння

Вибираємо більше із двох значень. Маємо, що сума 18 членів прогресії з заданими величинами а1=1,d=2 рівна Sn=307.

На цьому знайомство із арифметичними прогресіями завершується. В книжках ви знайдете багато подібних задач та нових, які не були розглянуті. Наведеного матеріалу повинно вистачити Вам з головою, щоб розібратися і роз'вязати задачі самостійно.