Дробово раціональні рівняння

Рівняння, які можна звести до дробу f(x)/g(x)=0 називається дробово раціональним рівнянням.

Розв’язання дробово раціональних рівнянь є не надто складним завданням, якщо Ви знаєте методику, а вона достатньо проста.

Якщо рівняння має кілька доданків, то переносимо їх по одну сторону знаку рівності і зводимо до спільного знаменника. В результаті отримаємо дробову функцію f(x)/g(x), яка рівна нулю

Наступним кроком знаходимо корені чисельника. Відкидаємо серед них ті, що не належать області допустимих значень (нулі знаменника) і записуємо правильну відповідь.

В теорії все досить просто, проте на практиці і в школярів, і в студентів виникають проблеми при зведені до спільного знаменника, відшуканні коренів і т.д. Для ознайомлення з розв’язуванням розглянемо декілька поширених завдань.

Приклади дробово раціональних рівнянь

Приклад 1. Знайти корені рівняння

Розв’язання: За методикою переносимо доданки та зводимо до спільного знаменника

Прирівнюємо чисельник і знаменник до нуля і знаходимо корені. Перше рівняння можемо розв’язати за теоремою Вієта

Друге розкладаємо на множники

Якщо від коренів чисельника відкинути нулі знаменника, то отримаємо лише один розв’язок x=-7.

Увага: Завжди перевіряйте чи співпадають корені чисельника і знаменника. Якщо такі є, то не враховуйте їх у відповіді.

Відповідь: х=-7.

------------------------------------

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язання: Задано дробове раціональне рівняння. Знаходимо спочатку корені чисельника, для цього розв’язуємо квадратне рівняння

Обчислюємо дискримінант

та корені рівняння

Отримали три нулі чисельника .

Квадратне рівняння в знаменнику простіше і можемо розв’язати за теоремою Вієта

Чисельник і знаменник не мають спільних коренів тому всі три знайдені значення  будуть розв’язками.

------------------------------------

Приклад 3. Знайти корені рівняння

Розв’язання: Переносимо доданок за знак рівності

 і зводимо до спільного знаменника

Розкриваємо в чисельнику дужки та зводимо до квадратного рівняння

Отримане дробово раціональне рівняння еквівалентне системі двох рівнянь

Корені першого обчислюємо через дискримінант

Нулі другого знаходимо без проблем

Виключаємо із розв’язків чисельника значення  і отримаємо.

Відповідь: х=3.

------------------------------------

Задачі на рух

Задача 4. Вертоліт пролетів за вітром відстань 120 км і в зворотньому напрямку повернувся назад, витративши на весь шлях 6 год. Знайдіть швидкість вітру, якщо швидкість в штиль становить 45 км/год.

Розв’язання:
 Позначимо швидкість вітру через х км/год. Тоді за вітром швидкість вертольоту становитиме (45+х) км/год, і в зворотньому напрямку (45-х) км/год. За умовою задачі вертоліт потратив 6 години на дорогу.

Поділивши відстань на швидкість та просумувавши отримаємо час

Отримали дробово раціональне рівняння, схема розв’язування якого неодноразово повторювалася

Розв’язком другого рівняння будуть значення x=-45; x=45.

Корені чисельника знайдемо після спрощень

Із фізичних міркувань перший розв’язок відкидаємо.

Відповідь: швидкість вітру 15 км/год.

------------------------------------

Задачі на спільну роботу

Задача 2. Два лісоруби, працюючи разом, виконали норму вирубки за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожному лісорубу окремо, якщо першому для вирубки норми потрібно на 6 днів менше, ніж другому?

Розв’язання: Нехай перший лісоруб виконує норму за х днів. Тоді другому необхідно (х+6) днів.

Це означає, що за один день перший виконає , а друга  частину всієї норми. За умовою виконують норму за 4 дні, тобто обоє в день можуть виконати  норми.

Складаємо і розв’язуємо рівняння

Дане дробово раціональне рівняння еквівалентне системі двох рівнянь

Один розв’язок  не відповідає фізичній суті завдання. Час другого лісоруба
х+6=6+6=12 (днів)

Відповідь: Роботу перший лісоруб виконає за 6 днів, а другий за 12.